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In den nebenstehenden Bildern ist jeweils eine Reihe von Körpern skizziert, die von einer sinusförmigen Querwelle erfasst werden.

Im obersten Bild beginnt der Körper A gerade in positive y-Richtung zu schwingen, die anderen Körper sind noch in Ruhe.

Im Bild darunter hat Körper A schon eine gewisse Auslenkung, der zweite Körper wird gerade von der Störung erfasst und beginnt gerade in positive y-Richtung zu schwingen usw.

Bestimme die Schwingungsfunktion für den Körper A, wenn er mit der Frequenz f schwingt.

Die Schwingungsfunktion für den Körper A lautet {{y_{\rm{A}}}(t) = \hat y \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)\;;\;\omega = 2 \cdot \pi \cdot f}

Aufgrund der Kopplung der Teilchen wandert die Störung mit der Geschwindigkeit c entlang der positiven x-Richtung.

Berechne die Zeitspanne Welche Zeit {\Delta t} , die verstreicht, bis der Punkt P in der Entfernung {{x_{\rm{P}}}} erfasst wird.

Aufgrund der Kopplung der Körperchen wandert die Störung mit der Geschwindigkeit c entlang der positiven x -Richtung. Der Körper P wird in der Zeit \Delta t = \frac{{{x_P}}}{c} von der Störung erfasst.

Bestimme mit den bisherigen Ergebnissen die Schwingungsfunktion für den Körper P.

Die Schwingungsfunktion für den Körper P lautet y_{\rm{P}}(t) = \hat y \cdot \sin \left( {\omega \cdot \left( {t - \Delta t} \right)} \right)\;;\;\omega = 2 \cdot \pi \cdot f

Die Schwingungsgleichung für den Körper A lautet {y_A}(t) = \hat y \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)\;;\;\omega = 2 \cdot \pi \cdot f

Wir fassen noch einmal zusammen: Die fortlaufende Welle - Bild und Gleichung

Bei einer längs einer Geraden fortlaufenden Welle schwingen alle Punkte der Geraden mit der selben Amplitude allerdings mit unterschiedlicher, zeitlich versetzter Phasenlage. Dabei ist T die Schwingungsperiode und \lambda die Wellenlänge.

3 Nach rechts laufende harmonische Welle

Die Welllenfunktion einer in positiver x -Richtung (also meist nach rechts) laufenden Welle lautet {y_{\rm{R}}}(x;t) =\hat y \cdot \sin \left( {2\pi \cdot \left( {\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda }} \right)} \right)

Beachte, dass hier in der Klammer des Sinus ein - -Zeichen steht.
4 Nach links laufende harmonische Welle

Die Welllenfunktion einer in negativer x -Richtung (also meist nach links) laufenden Welle lautet {y_{\rm{L}}}(x;t) = \hat y \cdot \sin \left( {2\pi \cdot \left( {\frac{t}{T} + \frac{x}{\lambda }} \right)} \right)

Beachte, dass hier in der Klammer des Sinus ein + -Zeichen steht.

y({x_1};t) = \hat y \cdot \sin \left[ {2\pi \cdot \left( {\frac{t}{T} - \frac{{{x_1}}}{\lambda }} \right)} \right]

Die Auslenkung hängt nur noch von t ab. y({x_1};t) zeigt, dass der Punkt am Ort x_1 eine Sinusschwingung ausführt (Sinuslinie im t - y -Diagramm). Vgl. hierzu die Bewegung der rot markierten Punkte in den Animationen in den Abb. 3 und 4 .

y(x;{t_1}) = \hat y \cdot \sin \left[ {2\pi \cdot \left( {\frac{{{t_1}}}{T} - \frac{x}{\lambda }} \right)} \right]

Die Auslenkung hängt nur noch von x ab. y(x;{t_1}) zeigt, dass eine Momentaufnahme der Welle eine Sinuslinie ergibt (Sinuslinie im x - y -Diagramm). Vgl. hierzu die Standbilder in den Animationen in den Abb. 3 und 4 .

Weiterführende Artikel

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Stehende Wellen - Einführung

Laufen z. B. zwei harmonische Wellen gleicher Frequenz, gleicher Amplitude und gleicher Schwingungsrichtung (der letzte Punkt ist nur bei Querwellen wichtig) gegeneinander, so kommt es zur Ausbildung einer sogenannten stehenden Welle .

1 Entstehung einer stehenden Welle auf einer Kugelkette

Eine stehende Welle hat an stets gleichen Stellen Knoten (keine Auslenkung) und Bäuche (maximale Auslenkung im Vergleich zur Umgebung). Der Abstand zweier benachbarter Knoten (Bäuche) ist die Hälfte der Wellenlänge der ursprünglich fortscheitenden Wellen (Möglichkeit der Messung der Wellenlänge).

Hinweise

Der Begriff stehende Welle ist unglücklich gewählt, da es sich um keine Welle mehr handelt, bei der Energie in den Raum hinaus transportiert wird.

Zur Erzeugung von zwei gegeneinander laufenden Wellen braucht man nicht unbedingt zwei "Wellengeneratoren". Man kann z.B. am Seil eine Welle nach rechts laufen lassen. Diese Welle wird am Seilende reflektiert und läuft dann wieder nach links. Durch Interferenz zwischen hin- und zurücklaufender Welle kommt es dann zur Ausbildung einer stehenden Welle.

Entstehung der stehenden Welle vor der Wand

Eine von links nach rechts laufende Welle trifft auf ein festes Ende und wird dort reflektiert. Man erkennt, dass sich die hinlaufende und die reflektierte Welle zu einer stehenden Welle überlagern.

Versuche/Erarbeiten
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Stehende Welle (Simulation)
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Stehende Längswellen (Simulation)
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Stehende Wellen - Fortführung

Stehende Welle durch Reflexion einer Welle an einem festen Ende

1 Reflexion einer Welle an einem festen Ende und resultierende stehende Welle

Die "blaue" Primärwelle läuft von rechts nach links. Sie löst durch Anregung der Wand die von der Wand in beide Richtungen ausgehende, rot skizzierte Sekundärwelle aus.

Die "rote" Welle schwingt mit Phasenverzögerung von \pi achsensymmetrisch zur Wand. Die von der Wand ausgehende "rote" Welle ist rechts von der Wand zur "blauen" Welle gegenläufig und überlagert sich mit dieser zur violetten stehenden Welle mit doppelter Amplitude und einem Knoten direkt an der Wand. Links von der Wand sind "blaue" und "rote" Welle gleichläufig und gegenphasig. Sie heben sich dadurch auf.

Hinweis: Bei der Reflexion einer elektromagnetischen Welle verhält sich das elektrische Feld ähnlich wie eine mechanische Welle, die am festen Ende reflektiert wird.

Dies ist die Gleichung der stehenden Welle. Sie zeichnet sich dadurch aus, dass an allen Punkten die Schwingung phasengleich \left( {\sin \left( {2 \cdot \pi \frac{t}{T} - \frac{\pi }{2}} \right)} \right) erfolgt, aber die Amplitude \left( {2 \cdot {y_0} \cdot \cos \left( {2 \cdot \pi \cdot \frac{x}{\lambda } + \frac{\pi }{2}} \right)} \right) vom Ort abhängt und an der Wand einen Knoten hat.

STUTTGART (dpa-AFX) - Der Autobauer Daimler stellt seine Lastwagensparte in China neu auf. Von einem neu geschaffenen Posten im Bereichsvorstand aus soll künftig das gesamte China-Geschäft von Daimler Trucks and Buses koordiniert werden - also sowohl die lokale Produktion als auch der Import. Den Job übernimmt zum Jahreswechsel der Leiter der globalen Produktentwicklung, Sven Ennerst, wie Daimler am Dienstag mitteilte. An der Spitze des Konzerns gibt es mit Hubertus Troska bereits einen eigenen China-Vorstand.

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Die Führung von Beijing Foton Daimler Automotive (BFDA) - ein Gemeinschaftsunternehmen, in dem Daimler mit dem heimischen Hersteller Foton schwere Lastwagen der Marke Auman produziert - übernimmt Kelley Platt. Platt leitet derzeit die Daimler-Tochter Western Star Trucks in den USA. Ihr Vorgänger Zhou Liang verlässt BFDA.

"Wir wollen unsere Marktposition in China weiter ausbauen", sagte der für das Lastwagengeschäft zuständige Daimler-Vorstand Martin Daum. "Deshalb stärken wir jetzt unser China-Geschäft durch eine eigene Management-Verantwortung im Bereichsvorstand von Daimler-Trucks." Aus Unternehmenskreisen hieß es, dass mit dem Umbau auch die Zusammenarbeit mit dem chinesischen Partner verbessert werden soll.

BFDA hat bis Ende Oktober rund 91 000 Lastwagen in China verkauft. Den Angaben zufolge sind das 59 Prozent mehr als im Vorjahr./eni/DP/jha

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